数学学习中有很多基本概念是相互矛盾的，孩子很容易因困惑而无法正确回答问题。 今天老师收集了15个小学数学中最容易混淆的基本概念。 父母有没有要求孩子理解他们？
1. 最小的个位数是0还是1？
这个问题已经争论了很长时间。 我们先看一下《九、六年义务教育小学数学第八卷教师手册》第98页“关于几位数字”的说明：“通常是自然数，包含几个数字称为几个数字。 例如“2”是包含一位数的数字，称为一位数； “30”是包含两位数字的数字，称为二位数； “405”是包含三位数字的数字，称为三位数……但要注意：一般不说0是多少位。
我们来听听专家的解释： 在自然数理论中，“数字”的定义是这样的：“只有一位有效数字表示的数，称为一位数； 只用两位数（左边第一个）表示的数（即该位所表示的数为有效数字）称为两位数……因此，在一个数中，有多少位数字（左边第一位数字是有效数字），这个数字称为数字。
这里，所谓最大数字和最小数字通常是在非零自然数范围内研究的。 因此，有九个个位数，即：1、2、3、4、5、6、7、8、9。
0 不是最小的个位数。
2.为什么0也是自然数？
课程标准教科书规定“0也是自然数”，颠覆了人们对自然数的传统认识。
对此，中央教育学院教材编写组主编陈昌柱表示：国际上一直对自然数有不同的定义。 以法国为代表的大多数国家都认为自然数是从0开始的。我国的教科书一直沿袭前苏联。 论证 0 不是自然数。 2000年教育部召开教材改编会议时，明确提出将0归为自然数。 此次修订也符合国际惯例。
从教学实践的角度来看，将“0”定义为“自然数”也具有积极的现实意义。
❖“0”作为自然数的“好处”
众所周知，数学中的集合分为两类：有限集和无限集。 有限集是包含有限个元素的集合，例如某个班级的学生集合。 无限集是包含非有限数量元素的集合，例如分数集。 因为自然数具有“基数”的属性，所以很自然地用自然数来描述有限集合中元素的数量。
但在有限集合中，有一个最重要、最基础的集合，称为空集{}，其元素个数为0。如果不把0看成自然数，那么空集的元素个数就无法求出。用自然数表示。 如果把“0”看成自然数，那么自然数就可以完成描述“有限集合中元素的数量”的任务。 在这里，我们从“自然数的基数”的角度，看到了使用“0”作为自然数的好处。
❖将“0”视为自然数足球记分牌，不会影响自然数的“运算功能”。
“0”被添加到传统的自然数集合中，所有“运算规则”仍然保留。 例如，新的自然数集合{0,1,2,...,n,...}中的任意两个自然数可以相加和相乘，并且运算的结果仍然是自然数。 同时，加法和乘法的结合律和交换律以及乘法的分配律不会受到影响。
因此，自然数集合中添加“0”是理所当然的事情，而不仅仅是人为的“规定”。 它让我们更好地理解自然数及其函数，也让我们认识到在教学时不仅要知道和记住数学的“定义”和“规定”，还要思考“定义”和“规定”背后的数学意义。规定”。
3. 什么是有效数字和无效数字？
有效数字表示数字的近似准确程度。 对于相同的近似数字，如果在四舍五入时保留更多的有效数字，则比保留较少的有效数字更准确。
一般来说，近似数四舍五入到的位数是近似数四舍五入到的精确数位。 此时，从左边第一个非零数字开始，一直到该数字的所有数字称为该数的有效数字。
例如，近似数 0.00309 具有三个有效数字：3、0、9； 0.520 也有三个有效数字：5、2、0。
0.00309左边的三个零和0.520左边的一个零都是无效数字。
4. 加、减、乘、除互为逆运算吗？
“加法和减法是互为逆运算，乘法和除法是互为逆运算。” 这似乎成了很多老师的口头禅，但这其实是一个误区。 例如：
加法“2+3=5”的逆计算为“5-2=3”和“5-3=2”。
因此，加法的逆运算只是减法；
减法“5-2=3”，其逆运算为“5-3=2”、“2+3=5”。
因此，减法的逆运算有减法和加法两种运算。
综上所述，我们只能说减法是加法的逆运算，但不能说加法和减法是互为逆运算。
同理，我们只能说除法是乘法的逆运算，但不能说乘法和除法互为逆运算。
5、为什么不写“次”？
在学习单词问题“一个数字是另一个数字的次数是多少？”时很多孩子自然会问这样的问题，比如：“养殖组养了12只小鸡，3只小鸭，小鸡的数量是小鸭的多少倍？” 为什么“12÷3=4”后面不写“次”？
首先要肯定学生的疑惑（学生解题规范意识较强）。但同时要向学生解释：在解文字题时，通常要写出数字的单位名称在号码之后。
例如：“仅”表示12件； “克”代表8克。 数字只有附有单位名称，才能准确表达物体的数量、大小、长度、重量等。 然而，“次”并不是一个单位名称，它代表的是两个量之间的关系。 例如，上面的计算结果“4”表示12中有4个3，即12只鸡是3只小鸭的4倍。
因此，计算公式中不要写“次”，以免“次”与单位名称混淆。
6.“倍数”与“倍数”的区别
在第一学期的学习中，我们学习了“对时代的初步认识”，认识了“倍数”的概念，在第二学期的学习中，我们也学习了“倍数”的概念。 那么，“多个”和“多个”这两个词是同一个词吗？ 这两个词有什么区别？
“双”是指数量关系，它基于乘法和除法的概念。 例如：有10个男生，30个女生。 因为“10×3=30”或者“30÷10=3”，所以我们说女孩的数量（30）是男孩数量（10）的3倍，这也可以说足球记分牌，男孩数量的三倍(10) 等于女孩的数量 (30)。 吴宁说，“倍数”其实就是两个数的商（这个商可以有整数、小数、分数等多种形式）。
“倍数”是指数字之间的联系，基于整除的概念。 例如，30能被6整除，所以30是6的倍数。可见，“倍数”不能独立存在（具有特定的方向性），而且对数字的形式有特殊要求（必须是整数）。
同时我们看到30也是5乘6，因为6×5=30，而“6×5”就是5乘6。所以从这个角度来说，“倍数”的含义应该比“倍数”更广泛。 ”，而后者可以看作是前者在特定情况下的表现。
7. 小时和小时有什么区别？ 如何使用小时和小时？
首先要明确的是，[小时]小时并不是国际时间单位。 1984年国务院颁布的《关于统一我国法定计量单位的令》中，采用秒作为时间的基本单位，非国际单位制时间单位天（days）、（小时），并使用分钟作为辅助单位。
（注：[]内的词在不引起混淆的情况下可以省略）。
这样，我国使用的法定时间单位有：天（天）、[小时]、分钟、秒。
因此，“时”既可以表示时间，也可以表示时刻。 由于“时间”和“时刻”这两个不同的概念很容易混淆，因此在实际使用时间单位“小时”时，
目前教材处理如下：
❖列公式计算时间长度时，将时间单位“小时”写在数字括号内。 例如：超市营业时间：21-9=12（小时）。 （这里“小”字可以省略）
❖在语言表达时间长度时，为了避免“时间”和“时刻”两个概念混淆，在“时”前加“小”字。 例如：超市营业时间为12小时。
❖用语言表达时间时，不得出现“时”字。 例如：公园每天早上 7:30 开放（而不是 7:30）。
8.“重写”和“省略”是一回事吗？
从形式上看，这个例子把“改写”和“省略”这两种对数变化放在了同一个要求下（即改写成以“亿”为单位的数字）。 我们真希望编者不是故意这样做的，因为“重写”和“省略”的本质是完全不同的。 出现在：
❖目的不同。
“重写”的目的是为了方便大数的读写，而“省略”则是为了得到数字的近似值。
❖方法不同。
这里的“改写”就是把“十亿”数字后面的0去掉，然后写上“亿”字。 “省略”除了考虑“十亿”位数外，还必须考虑省略尾数的最高位数。 ，然后使用四舍五入来找到近似数字。
❖符号不同。
“重写”只是改变了数字的形式，但大小没有改变，所以用“=”符号连接； 而“省略”不仅改变了数字的形式，而且改变了数字的大小，所以与“≈”相连。
9.“距离”和“距离”一样吗？
这两个词在许多老师的教学语言中可以互换使用，但事实并非如此。
“距离”是指从一地到另一地的路线长度； “距离”是指连接两地的直线段的长度。
“距离”所遵循的路线可以是曲线、直线或锯齿线。
一般来说，两地之间的“距离”大于两地之间的“距离”。 只有当两地之间的路线是直线时，距离和距离才相等。
虽然老师们都知道这个等式成立，但我们学生却没有相应的知识储备，如何绕过“极限”，找到小学生能够理解和接受的证明方式。
10. 最大的分数单位是1/2还是1/1？
我们先看一下小数单位的含义：将单位“1”均分为几部分，表示部分的个数。
显然，分数的意义中，关键是“分”。 没有“分”，就没有“分”。
因为单位“1”能分成的最小等份数是2份（如果是1份就没有“点”），所以得到的分数单位是1/2，所以1/2就是最大分数单位。
虽然在广义的分数中，1/1也可以被视为分数，但它不再是那种与通常意义上的整数相对立的分数（在平均值的基础上产生的）。 因此，最大分数的单位应为1/2。
11. 0/3、0.2/3 和 3/0.2 等数字是分数吗？
分数的定义清楚地告诉我们：将单位“1”均分为若干份，代表这样一个或数份的数就称为分数。 其中，它被分成的部分的个数称为分数的分母，要表示的部分的个数称为分子。
由此可见，分数的分子和分母都应该是非零自然数。 从这个意义上来说，上面的数字只有分数的形式，而没有分数的本质，因此不应该被视为分数。
此外，在考察学生对“分数”含义的理解时，应重点关注通常意义上的分数，并将上述变体形式纳入思维范围。 这本身对于训练学生的思维没有太大的实际意义，而且会让诸如“分数都大于0”之类命题的真假陷入尴尬的境地。
12. 比 6 大 1/2 的数应该是 61/2 或 6×(11/2)
要弄清楚这个问题，首先要了解“6”的本质。 显然，这里的“6”本质上是一个“数字”而不是“数量”。 查找“比 6 大 1/2 的数字”应该属于“查找大于数字的数字”类别。 问题中的“几个”都是确定的具体数字。 这里的“几”可以是整数，也可以是小数，也可以是分数。
因此，这里的“1/2”指的是“1/2”这个数字本身，是在6的基础上“多了1/2”，而不是“6的1/2”。
因此，“比6大1/2的数”应该是“61/2”。
当然，如果问题确定为“一个比6大1/2的数”，那么答案就属于后者。
13. 是否可以不乘以100%来计算出勤率？
我们先来看看新民教版、北师大版和江苏教育版这三个不同版本的教材中对类似问题的理解。
相同的课程标准下，不同的教材给出了不同的理解，给指导老师带来了困惑：不乘以100%可以吗？ 笔者认为，查找“××率”的结果一定是百分比。 以出席率为例，就是查出实际出席人数占应出席人数的百分比。
如果公式简单写成：出席率=实际出席人数/应出席人数，我们说这只是分数形式（即求出人数占总人数的百分之几）出席人数应为实际出席人数），而不是百分比。
因此，在公式后乘以“100%”，既可以保持计算值不变，又可以保证结果形式满足百分比的要求。 所以，出勤率、发芽率、出粉率、合格率……的计算公式都要乘以“100%”。
同时，建议各版本教材编委会统一思想，避免给一线教师造成认知混乱。
14.小于90度的角是锐角吗？
根据课程标准教材的定义：小于90度的角称为锐角。 答案似乎是肯定的，但是新的问题又出现了：0度角是多少度？ 也是锐角吗？
事实是，锐角的定义有一个隐含的前提足球记分牌，那就是小学数学中讨论的角都是正角。 传统上，我们将射线逆时针旋转得到的角度称为正角，将射线顺时针旋转得到的角度称为负角。 当射线不做任何旋转时，它被视为零角度。 如果角度的概念延伸到任意大小的角度，则应分为正角、负角和零角。
因此，严格意义上的锐角定义应该是：大于0度且小于90度的角称为锐角。
15.足球比赛记分牌上的3:2是数学中的比率吗？
我们至少可以从两个方面来理解它们的差异。
首先，球类比赛中的“3:2”代表的是比赛双方的得分情况。 是一个“差”比，意思是差异。 一方得3分，另一方得2分，双方分差为1分； 数学中的“3︰2”表示“3÷2”，是一个“倍”比，商为1.5。 由此看来，球类运动中的“比”（实际上是比分）后面的数字可以为0，但数学中的“比”后面的数字（相当于除数）却不能为0。
其次，数学中的“比例”可以简化，比如“4:2=2:1”； 同样的“4:2”在球赛中也不能被简化。 不能反映比赛双方的实际比分。
42
维维亚尼曲线
（图片来自徐肖战博客）
43
等速螺旋线（阿基米德螺旋线）
（图片来自徐肖战博客）
44
不可能的图形
45
极坐标的魔力
（图片来源）
过往经典
往期热门文章
● 父亲成功送女儿考上北大：每一个尖子生的背后，都有一个懂得付出的家庭。 ● 数学公式背后的有趣故事，看完你就会爱上数学！ ●2020中考数学：几何部分备考知识点，赶紧收藏吧！ ●100道趣味小学数学题，暑假在家边玩边学！ （含答案） ●教育部公布竞赛名单，新增21个项目，删除17个项目！ ！ ！ ●有这些技能的老师，未来不会被淘汰！ 暑假里收集、提升自己！ ●决定孩子一生的不是高考，而是初四、初五、初二！ 现在看还不算太晚！ ●初一是路，初二是坡，初三是峰！ 附上初中生和家长的学习计划表！ ●第22届华罗庚金杯青少年数学邀请赛决赛A题（高小组） ●一个中考失利学生的觉醒：我的梦想竟然被手机夺走了！ ●科学探究：牛顿第一定律 ●《我是怎么考第一名的？》优等生的演讲，值得所有家长深思 ●奥数乘法与心算速度算法 ●《数学之美》 1》和《数学之美2》尤思斌精彩演讲视频
●世界上最快的数学计算方法，分享给你的孩子！
●奥林匹克数学因数与倍数专题
转载授权、业务合作、投稿事宜请联系：
切勿颠倒教育顺序。 1、只有向下扎根，才能向上生长。 2、坚持不是结果，而是坚持才有结果。 3、孩子的成长过程中，不是出现问题，而是想到解决办法。 如果你做好了准备，就不会有任何问题。 与其飞翔，不如脱一层皮。 生活中也是如此。 如果你想改变你的生活条件，你必须做出非凡的转变。 完美的背后是努力的付出，是无数风雨的洗礼！ 你越努力，你就会越有成就感！ ——不要在最该奋斗的年纪选择安逸，奥利！
